题目
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
（3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2．求证：g′（px1+qx2）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．
答案
| x |
| lnx |
记 φ=
| x |
| lnx |
求得 φ′(x)=
| lnx-1 |
| ln2x |
当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0
故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ（x）min=φ（e）=e，故m≤e．
（2）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
令g（x）=x-2lnx，则 g′(x)=1-
| 2 |
| x |
当x∈[1，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，3]时，g′（x）＞0
g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数．
故g（x）min=g（2）=2-2ln2
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）＞g（3），
∴只需g（2）＜a≤g（3），
故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3〕
（3）∵g′(x)=
| 2 |
| x |
∴
解析 |