已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（
难度：一般
题型：解答题
来源：苏州二模
题目
已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）|≤恒成立，求函数f（x）的表达式；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=m和x=n处取得极值，且a+b≤2
答案
| （1）f（x）=x3-2ax2+a2x 令f"（x）=3x2-4ax+a2=0，
得：x1=，x2=a．（2分）
1° 当a＞0 时，x1＜x2
∴所求单调增区间是(-∞，)，（a，+∞），单调减区间是（，a ）
2° 当a＜0 时，所求单调增区间是（-∞，a），(，+∞)，单调减区间是（a， ）
3° 当a=0 时，f"（x）=3x2≥0 所求单调增区间是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x3-（a+b）x2+abx∴f"（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
∵当x∈[-1，1]时，恒有|f"（x）|≤∴-≤f′(1)≤，-≤f′(-1)≤，-≤f′(0)≤，（8分）即 |
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