设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(

1
9
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

答案

（I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，
对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（

1
9
）=f（1）=0，
得f（
1
9
）=2．
（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
），
因
x2
x1
＞1，由（2）知f（
x2
x1
）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x（2-x）]＜f（
1
9
），
由函数f（x）在R+上的递减性，得：

解析

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