已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(
1
2
)=
2
5

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t2）＜0．

答案

：（1）∵f(x)=

ax+b
1+x2
为奇函数，且 f（
1
2
）=
a•
1
2
+b
1+(
1
2
)2
=
2
5
，
∴f（-
1
2
）=
a•(-
1
2
)+b
1+(-
1
2
)2
=-f（
1
2
）=-
2
5
，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=
x
1+x2
．
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，
∴f（x1）-f（x2）=
x1
1+x1 2
-
x2
1+x2 2
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x1 2)(1+x2 2) 
；
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t2）＜0
∴f（t2）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴

解析

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