题目

设f（x）=

e-x

a

+

a

e-x

是定义在R上的函数．
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．

答案

（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，
∴f（-x）=-f（x），
即

ex

a

+

a

ex

=-(

e-x

a

+

a

e-x

)，
整理得(a+

1

a

)（e^x+e^-x）=0，
即a+

1

a

=0，即a²+1=0，显然无解．
∴f（x）不可能是奇函数．
（2）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即

ex

a

+

a

ex

=

e-x

a

+

a

e-x

，
整理得(a+

1

a

)（e^x-e^-x）=0，
又∵对任意x∈R都成立
∴有a-

1

a

=0，得a=±1．
当a=1时，f（x）=e^-x+e^x，以下讨论其单调性，
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=e-x1+ex1-e-x2-ex2=（ex1-ex2）（1-

1

ex1ex2

）＞0，
其中ex1、ex2＞0，ex1-ex2＜0，
当ex1•ex2=ex1+x2＞0时，即x₁+x₂＞0时，f（x₁）＜f（x₂），f（x）为增函数，
此时需要x₁+x₂＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减区间．
当a=-1时，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，+∞]上是减函数．

解析