题目

已知函数f（x）=ax-x³，对区间（0，1]上的任意两个值x₁、x₂，当x₁＜x₂时总有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，则a的取值范围是（　　）

A．[4，+∞）

B．（0，4）

C．（1，4）

D．（0，1）

答案

f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立
即ax₁-x₁³-ax₂+x₂³＞x₂-x₁成立
即a（x₂-x₁）-（x₂-x₁）（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞x₂-x₁成立
∵x₁＜x₂，即x₂-x₁＞0
∴a-（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞1成立
∴a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在区间（0，1]上恒成立
当x₁x2的值为1时，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值为4，由于x₁＜x₂≤1故，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值取不到4
∴a≥4
故选 A

解析