题目

已知函数f(x)=4x+

a

x+1

，a＞-1，a为常数，
（1）若a=1，证明f（x）≥0；
（2）对任意x∈（1+∞）f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）a=1时，f(x)=4x+

1

x+1

，因x＞-1，所以x+1＞0，
所以f(x)=4(x+1)+

1

x+1

-4≥4-4=0，所以f(x)≥0．
（2）对任意x∈（1，+∞）有f（x）＞1，

即4x+ 1 x+1 ＞1得a＞(1-4x)(1+x)，令g(x)=(1-4x)(1+x)， g(x)=-4x2-3x+1在(1，+∞)上递增，所以g(x)＜g(1)=-6， ∴a≥-6，即a的取值范围是[-6，+∞].

解析