题目

已知α∈(0，

π

2

)，x∈R，函数f（x）=sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x．
（1）求函数f（x）的奇偶性；
（2）是否存在常数α，使得对任意实数x，f(x)=f(

π

2

-x)恒成立；如果存在，求出所有这样的α；如果不存在，请说明理由．

答案

解法一：（1）定义域是x∈R，
∵f（-x）=sin²（-x-α）+sin²（-x+α）-sin²（-x）=sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）∵f(x)=f(

π

2

-x)，∴sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x=cos²（x-α）+cos²（x+α）-cos²x，
移项得：cos（2x-2α）+cos（2x+2α）-cos2x=0，
展开得：cos2x（2cos2α-1）=0，
对于任意实数x上式恒成立，只有cos2α=

1

2

．
∵0＜2α＜π，∴α=

π

6

．
解法二：f(x)=

1-cos(2x+2α)

2

+

1-cos(2x-2α)

2

-

1-cos2x

2

=

1-cos2x(2cos2α-1)

2

．
（1）定义域是x∈R，
∵f(-x)=

1-cos(-2x)(2cos2α-1)

2

=

1-cos2x(2cos2α-1)

2

=f(x)，
∴该函数在定义域内是偶函数．
（2）由f(x)=f(

π

2

-x)恒成立，
∴

1-cos2x(2cos2α-1)

2

=

1-cos2( π 2 -x)(2cos2α-1)

2

，
∴

1-cos2x(2cos2α-1)

2

=

1+cos2x(2cos2α-1)

2

，
化简可得：cos2x（2cos2α-1）=0对于任意实数x上式恒成立，
只有cos2α=

1

2

，
∵0＜2α＜π，∴α=

π

6

．

解析