题目

若不等式[（1-x）t-x]lgx＜0对任意正整数t恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

A．{x|x＞1}	B．{x|0＜x＜ 1 2 }
C．{x|0＜x＜ 1 2 或x＞1}	D．{x|0＜x＜ 1 3 或x＞1}

答案

由题知x＞0，所以当x＞1时，lgx＞0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＜0⇒a＞

n

n+1

=1-

1

n+1

对任意正整数n恒成立⇒x＞1．
当0＜x＜1时，lgx＜0，
不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＞0⇒x＜

n

n+1

=1-

1

n+1

对任意正整数n恒成立⇒x＜

1

2

，
∵0＜x＜1，∴0＜x＜

1

2

．
当x=1时，lgx=0，不等式不成立舍去
综上，实数x的取值范围是  x＞1或0＜x＜

1

2

故选C．

解析