题目

已知函数f（x）=alnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；  
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤-2c²恒成立，求c的取值范围．

答案

（1）由题意知f（1）=-3-c，∴f（1）=b-c=-3-c，从而b=-3．
又f′(x)=

a

x

+4bx3．
由题意f"（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′(x)=

12

x

-12x3=

12(1-x4)

x

（x＞0），
令f"（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f"（x）＞0，此时f（x）为增函数；
当x＞1时，f"（x）＜0，此时f（x）为减函数．
因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极大值f（1）=-3-c，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≤-2c²．
即2c²-c-3≤0，从而（2c-3）（c+1）≤0，
解得-1≤c≤

3

2

．
所以c的取值范围为[-1，

3

2

]．

解析