已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，

π
4
)上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，
π
4
)上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．

答案

（1）（i） y=sinx+cosx是区间(0，

π
4
)上的“偏增函数”．
记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在(0，
π
4
)上单调递增，f2（x）=cosx在(0，
π
4
)上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（

解析

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