已知函数f（x）=xax+b（a、b是非零

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=

x
ax+b
（a、b是非零实常数）满足f（1）=
1
2
，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值．
（3）当x∈（
1
4
，
1
2
]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=

x
ax+b
，且f（1）=
1
2
，
∴
1
a+b
=
1
2
，即a+b=2；
又
x
ax+b
=x有且仅有一个实数解，
∴x（
1-ax-b
ax+b
）=0有且仅有一个实数解，为0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）=
x
x+1
．
（2）由（1）知，P（x，
x
x+1
），
|AP|2=(
x
x+1
-2)2+x2
=(
-x-2
x+1
)2+x2
=(
1
x+1
+1)2+[（x+1）-1]2，
令t=
1
x+1
，
则|AP|2=t2+2t+1+(
1
t
)2-
2
t
+1
=(t-
1
t
)2+2（t-
1
t
）+4，
令r=t-
1
t
，
则|AP|2=r2+2r+4=（r+1）2+3，
∴当r=-1，即t-
1
t
=-1，t=
-1±

解析

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