已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna

难度：一般 题型：解答题 来源：潍坊二模

题目

已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+

1
b
|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围．

答案

（I）证明：∵函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna，
F（x）=ax+x2-xlna
求导函数，可得F′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，ax-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令F′（x）=2x+（ax-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=ax（lna）2+2＞0，F′（x）为单调增函数，说明x=0是唯一的极值点，也是最小值点；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴当x＜0时，F′（x）＜0，为减函数；
F（x），F′（x）的变化情况如下表：

x （-∞，0） 0 （0，+∞）
F′（x） - 0 +
F（x） 递减 极小值1 递增
∵函数y=|F(x)-b+
1
b
|-3=0，也即|F(x)-b+
1
b
|=3，有四个零点；
∴等价于方程

解析

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