定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy  ②f(0)=0，f(

π
2
)=1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）求f（x）；
（3）求f（x）+cosx+f（x）•cosx的最大值．

答案

（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．
（2）令y=

π
2
，
得f(x+
π
2
)+f(x-
π
2
)=2f(x)cos
π
2
=0
令x=
π
2
，y=x，
得f(x+
π
2
)+f(
π
2
-x)=2f(
π
2
)cosx=2cosx
由（1），f（x）是奇函数，f(x-
π
2
)+f(
π
2
-x)=0
两式相加：2f(x+
π
2
)=2cosx∴f(x)=cos(
π
2
-x)=sinx
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值
设sinα+cosα=t=

解析

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