设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln

n+1
n
＞
n-1
n3
恒成立．

答案

（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），
b=-12时，由f/(x)=2x-

12
x+1
=
2x2+2x-12
x+1
=0，得x=2（x=-3舍去），
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）min=f（2）=4-12ln3
（2）由题意f/(x)=2x+
b
x+1
=
2x2+2x+b
x+1
=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则

解析

相关题目