题目

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)是奇函数．
（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．

答案

（1）∵函数f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)的定义域为R
根据定义在R上奇函数图象必过原点
故f(0)=a-

2

20+1

=0
解得a=1；
证明：（2）由（1）可得f(x)=1-

2

2x+1

=

2x -1

2x +1

任取R上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)•(2x2+1)-(2x2-1)•(2x1+1)

(2x1+1)•(2x2+1)

=

(2x+x2-2x2+2x1-1)-(2x+x2+2x2-2x1-1)

(2x1+1)•(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)•(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数；
（3）由（1）（2）得，
当x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x=0时，f（x）=0，此时xf（x）=0
当x＞0时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
故xf（x）≥0恒成立

解析