已知函数f（x）=-13x3+x2+b，g

难度：一般 题型：解答题 来源：成都二模

题目

已知函数f（x）=-

1
3
x3+x2+b，g（x）=
x+a
x2+1
，其中x∈R
（I）当b=
2
3
时，若函数F(x)=

答案

（I）当b=
2
3
时，函数F（x）为R上的连续函数，
∴
lim
x→2+
g(x)=
2+a
5
=f(2)=2
∴a=8
∵f′（x）=-x2+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．
又g(x)=
x+8
x2+1
，g′(x)=
-x2-16x+1
(x2+1)2

当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，
∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．
综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）对任意x1，x2∈[-1，2]，f（x1）＜f（x2）恒成立
g（x）max＜f（x）min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴g(x)=
x-1
x2+1

此时g′（x）＞0即-x2+2x+1＞0
∴1-

解析

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