题目

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x+c（c为常数）．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

答案

（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，
∵当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x+c（c为常数）．
∴f（x）=-（2-x）²+4（2-x）+c=-x²+c+4
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x²+c+4
由于f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x²-c-4
∴f(x)=