题目

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得 

f(x1)+f(x2)

2

=C成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：①y=x³②y=4sinx③y=lgx④y=2^x，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（　　）

A．①②

B．③④

C．①③④

D．①③

答案

由题意可得，均值为2，则

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定义域R上单调递增，对应任意的x₁，则存在唯一x₂满足x₁³+x₂³=4①正确
②：y=4sinx，满足4sinx₁+4sinx₂=4，令x1=

π

2

，则根据三角函数的周期性可得，
满足sinx₂=0的x₂无穷多个，②错误
③y=lgx在（0，+∞）单调递增，对应任意的x₁＞0，则满足lgx₁+lgx₂=4的x₂唯一存在③正确
④y=2^x满足2x1+2x2=4，令x₁=3时x₂不存在④错误
故选D．

解析