题目

定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)+f(2-2m)＞0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

答案

∵函数f（x）为奇函数又是减函数，
f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]+f(2-2m)＞0恒成立
⇔f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]＞f(-2+2m)
⇔sin(

π

2

-θ)+mcosθ＜2m-2即cosθ+mcosθ＜2m-2
整理得：m＞

2+cosθ

2-cosθ

恒成立，
设y=

2+cosθ

2-cosθ

，
下面只需求y=

2+cosθ

2-cosθ

的最大值，
由于y(2-cosθ)=2+cosθ，cosθ=

2y-2

y+1

⇒-1≤

2y-2

y+1

≤1，

1

3

≤y≤3
可知y的最大值=3，
∴m＞3
∴实数m的取值范围为（3，+∞）．

解析