已知函数f(x)=13x3-2ax2+3

难度：一般 题型：解答题 来源：衢州一模

题目

已知函数f(x)=

1
3
x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a2-1，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=x2-4ax+3a2=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=

4
3
a2-1，
令
4
3
a2-1≤2a2-1⇒a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a2-8a+
5
3
，
令6a2-8a+
5
3
≤2a2-1⇒3a2-6a+2≤0⇒1-

解析

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