题目

已知函数f（x）=-x³+3x
（I）证明：函数f（x）是奇函数；
（II）求f（x）的单调区间．

答案

（I）证明：显然f（x）的定义域是R．设任意x∈R，∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数
（II）∵f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0，由-3x²+3＞0，解得-1＜x＜1
由此可知，当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）=-x³+3x的单调增区间是（-1，1）；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）=-x³+3x的单调减区间分别是（-∞，-1），（1，+∞）

解析