题目

设函数．
（1）求函数在上的值域；
（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；
（3）求的值．

答案

(1) ；（2）证明见解析；（3）当时，为，当且时，为．

解析

试题分析：(1)由于可以看作为的二次函数，故可利用换元法借助二次函数知识求出值域；（2）这类问题的常用方法是证明在区间是单调的，且或者或，即可得证；本题中证时也可数学归纳法证明；（3）要求的值，注意分类讨论，时直接得结论，那么求时，只要用分组求和即可，在时，中除第一项外是一个公比不为1的等比数列的和，因此先求出
，同样在求时用分组求和的方法可求得结论．
试题解析：（1），由 令，．
，在上单调递增，在上的值域为． 4分
（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减, ,在上单调递减．
又.
.  7分
当时，
（注用数学归纳法证明相应给分）
又，即对于任意自然数有
对于每一个，存在唯一的，使得  11分
（3）．
当时，．
.  14分
当且时，．
18分