题目

设为实数，记函数的最大值为.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求.

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析

试题分析：观察到与是有关联的，平方后就可以看出彼此之间的关联.这样就可以化成以t为自变量的函数.那么第二问就转化成了带参数的二次函数的最值问题.根据对称轴进行分类讨论即可.
试题解析：（1）因为，
所以要使有意义，必须且，即
因为，且①
所以得取值范围是
由①得
所以，；  2分
（2）由题意知即为函数的最大值.
因为直线是抛物线的对称轴，
所以可分以下几种情况进行讨论：
当时函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故； 4分
②当时，，，有； 6分
③当时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，
若，即时，，
若，即时，，
若，即时，  9分
综上，有 10分