题目

（本小题满分12分）已知二次函数对任意实数都满足且
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）设求证：上为减函数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：对任意，恒有

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

解析

试题分析：（1）设
于是
所以
所以………………5分
（2） …………6分
因为对
故上为减函数 ………………8分
（3）由（2）得：上为减函数则：
…………10分
记，
则 ………………11分
所以是单调增函数，
所以，故命题成立 …………12分
点评：（Ⅲ）中证明不等式恒成立转化为求函数最值问题，这是一种常用的转化思路