题目

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．

答案

f(x)＝－4x²＋4x＋7

解析

(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x²＋4x＋7.
(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)²＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝；又根据题意，函数最大值y_max＝8，
∴n＝8，∴f(x)＝a²＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4.
∴f(x)＝－4²＋8＝－4x²＋4x＋7.
(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x₁＝2，x₂＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax²－ax－2a－1.又函数有最大值y_max＝8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x²－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x²＋4x＋7