题目

已知二次函数, 满足且的最小值是．
(1) 求的解析式；
(2) 设直线,若直线与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是, 直线与的图象所围成封闭图形的面积是,设,当取最小值时,求的值．
(3)已知, 求证: ．

答案

(1)
(2)
(3)证明略

解析

(1)由二次函数图象的对称性, 可设,又
故…………………3分
(2) 据题意, 直线与的图象的交点坐标为和,由定积分的几何意
义知 ……5分
=

=…………………7分
而
令或(不合题意,舍去)
当 …………………8分
故当时,有最小值.………………………………………………9分
(3) 的最小值为
……①……② …………………………………………10分
由①+②得: ………③ …………………11分
又④ …………………12分
故……13分