题目

（本小题满分12分）
已知函数
（1）证明：当时，函数只有一个零点；
（2）若函数在区间（1，+∞）上是减函数，求实数的取值范围。

答案

（1）函数只有一个零点；证明略
（2）实数a的取值范围是

解析

解：（1）当a=1时，
其定义域为
  …………2分
解得
当，
在区间（0，1）上单调递增，
在区间上单调递减，
当x=1时，函数f（x）取得最大值，即  …………4分
所以函数只有一个零点； …………5分
（2）因为，
所以
①当a=0时，
所以上为增函数，不合题意  …………7分
②当，
即，此时，f（x）的单调减区间为，依题意，
得 …………9分
（3）当
即的单调减区间为

综上所述，实数a的取值范围是  …………12分