题目

已知函数，且对任意的实数都有成立.
（1）求实数的值；
（2）利用函数单调性的定义证明函数在区间上是增函数.

答案

（1）（2）严格按照单调性定义证明即可

解析

试题分析：（1）由得，
，
整理得：， 4分
由于对任意的都成立，所以. 6分
（２） 根据（1）可知， 8分
下面证明函数在区间上是增函数.设
  12分
因为
所以
故函数在区间上是增函数. 14分
点评：由可以得到函数图象关于x=1对称，所以x=1是函数的对称轴，利用这条性质也可以解出a的值；另外，证明函数的单调性时要严格按照单调性的定义进行证明.