题目

已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值.
(2)若，求的最小值；
(3)在(Ⅱ)上求证：.

答案

（Ⅰ）或.
（Ⅱ）函数在上单调递减，在上单调递增；
（Ⅲ）当 
。。

解析

试题分析：（Ⅰ）的定义域为，，根据题意有，
所以解得或.  4分
（Ⅱ）
当时，因为，由得，解得，
由得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；8分
（Ⅲ）由（2）知，当a>0, 的最小值为
令
当 
。 13分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得到证明不等式。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。