题目

设函数，。
（1）当时，求的单调区间；
（2）（i）设是的导函数，证明：当时，在上恰有一个使得；
（ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。
注：为自然对数的底数。

答案

（1）的减区间是；增区间是 
（2）在上恰有一个使得.
（ⅱ）。

解析

试题分析：（1）当时， 1分
当时，；当时，
所以函数的减区间是；增区间是  3分
（2）（ⅰ） 4分
当时，；当时，
因为，所以函数在上递减；在上递增  6分
又因为，
所以在上恰有一个使得.  8分
（ⅱ）若，可得在时，，从而在内单调递增，而，
，不符题意。 
由（ⅰ）知在递减，递增，
设在上最大值为则，
若对任意的，恒有成立，则，  11分
由得，，
又，。  13
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先通过求导数，研究导数值的正负情况，确定函数单调区间。应用同样的方法，研究函数图象的形态，明确方程解的情况。作为“恒成立问题”往往转化成求函数的最值。