题目

已知函数有三个极值点。
（I）证明：；
（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

答案

(1)利用导数的符号判定函数单调性，以及桉树的极值，进而证明。
(2) 当时，所以且
即故或反之, 当或时，
总可找到使函数在区间上单调递减.

解析

试题分析：解：（I）因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根.
设则
当时， 在上为增函数;
当时， 在上为减函数;
当时， 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值.（3分）
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
解得且故. （5分）
（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为（），则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减，
则, 或,
若,则.由（I）知，,于是
若,则且.由（I）知，
又当时，;
因此, 当时，所以且
即故或反之, 当或时，
总可找到使函数在区间上单调递减. （10分）
点评：解决的关键是利用导数的符号判定函数的单调性，以及函数的极值，属于基础题。