题目

（本小题满分14分）
已知函数，，满足，.
(1)求，的值；
(2)若各项为正的数列的前项和为，且有，设，求数列的前项和；
(3)在(2)的条件下，证明：.

答案

(1)，
(2)
(3)通过构造函数，利用导数的思想来分析函数单调性，进而得到证明。

解析

试题分析：解：(1)由 ，
由代入可得，且.……………………………………………………2分
当时，（成立），当时，（舍去）.
所以，.…………………………………………………………………………4分
(2)，即.
时， .
所以，当时，由可得，
整理得，.
又得，且，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，即，.
. ………………………………………………………………………………7分
，
，
由上两式相减得 .
. ……………………………………………………………………10分
(3)由(2)知，只需证.设(且).
则，
可知在上是递减，.
由，则，
故. …………………………………………………………………………14分
点评：解决数列与函数与不等式的综合试题，是高考中常考的知识交汇点试题，熟练掌握错位相减法求和，属于中档题。