题目

（本小题12分）
已知奇函数对任意，总有，且当时，.
（1）求证：是上的减函数.
（2）求在上的最大值和最小值.
（3）若，求实数的取值范围。

答案

(1)根据函数单调性的定义法来加以证明
（2）上最大值为2，最小值为-2. 
（3）

解析

试题分析：解：（1）证明：令令———2’
在上任意取
——————4’
，
，有定义可知函数在上为单调递减函数。——6’
（2）

由可得
故上最大值为2，最小值为-2. ——————10’
（3），由（1）、（2）可得
，故实数的取值范围为.——————12’
点评：解决该试题的关键是利用抽象关系式来分析证明函数单调性，以及结合性质求解值域，和解决不等式的求解运用，属于基础题。