题目

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,证明不等式:<ln(x+1)<x;
(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0

答案

(1) f(x)在(-1,)为减，在（，+）为增
(2)将所证明的不等式利用构造函数，借助于导数的思想求解最值，来证明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。
(3)在上一问的基础上，进一步分析得到a的表达式，利用构造函数来求证。

解析

试题分析：解：（1）f’(x)=(x>-1,a>0)
令f’(x)=0
f(x)在(-1,)为减，在（，+）为增 f (x)_min=f()=1-(a+1)ln(+1)
（2）设F(x)=ln(x+1)-
F’(x)=F(x)在（0，+）为增函数
F(x)>F(0)="0" F(x)>0即
G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G’(x)=1- G(x)在（0，+）为增函数
G(x)>G(0)="0"  G(x)>0即ln(x+1)<x
经上可知
（3）由（1）知：





点评：导数在函数中的应用，频率最多的试题就是考查函数的单调性，以及证明不等式。那么对于后者的求解，关键是构造函数，借助于函数的最值来得到证明。