题目

已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的值；
（Ⅲ）求证：．（其中）

答案

（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为
（Ⅱ）（Ⅲ）利用放缩不等式可以证明，或用数学归纳法证明

解析

试题分析：(Ⅰ)易知函数的定义域为，
 ；
(Ⅱ)解法一： 
 
 
  
 
 

综上：；
解法二： 
  
由题意， 
，
 
(Ⅲ)证法一： 
  
，并累加得：  
 
 
证法二：数学归纳法（略）
点评：用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质时，不要忘记先求函数的定义域，用放缩法证明不等式时，要注意放缩的力度要恰当，如果用数学归纳法证明，需要严格按步骤进行.