题目

（本题满分13分）已知函数
(1) 求函数的极值；
(2)求证：当时，
(3)如果，且，求证：

答案

(1) 当时，取得极大值= ；
(2) ，则只需证当时，＞0；
(3) 由⑵的结论知时，＞0，∴．
∵，∴．
又，∴。

解析

试题分析：⑴∵=，∴=．2分
令=0，解得．

		1
	＋	0	－
	↗	极大值	↘

∴当时，取得极大值=．　 4分
⑵证明：,则
=． 6分　
当时，＜0，＞2，从而＜0，
∴＞0，在是增函数．
  8分
⑶证明：∵在内是增函数，在内是减函数．
∴当，且时，、不可能在同一单调区间内．
∴，11分
由⑵的结论知时，＞0，∴．
∵，∴．
又，∴　13分
点评：此题是个难题．主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力．做第三问的关键是：看出函数 的关系，即 。