题目

（10分）已知函数，且 
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若，求的取值范围。

答案

(1) 为奇函数， 证：见解析；
（2）在上的单调递增，证明：见解析。（3） .

解析

本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．
（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；
（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解．
（3）根据函数单调性，得到不等式的解集。
解 ∵ ，且
∴ ，解得
(1) 为奇函数，
证：∵ ，定义域为，关于原点对称…
又
所以为奇函数
（2）在上的单调递增
证明：设，
则
∵
∴  ，
故，即，在上的单调递增

又，即，所以可知
又由的对称性可知 时，同样成立 ∴