题目

(本小题满分12分)函数f(x)=log_a(x²－4ax+3a²), 0<a<1, 当x∈[a+2,a+3]时，恒有|f(x)|≤1，试确定a的取值范围.

答案

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解析

本题考查对数型复合函数，求其定义域时要注意底数大于0且不等式于1，第二问考查了利用复合函数的单调性转化为不等式求参数，有一定难度．
求函数f（x）的定义域，依据对数函数的定义，底数大于0且不等于1，真数大于0，转化为不等式用参数a表示出函数f（x）的定义域；由这个结论知[a+2，a+3]必为（0，a）或者（3a，+∞）的子集，故[a+2，a+3]必为f（x）的单调区间，欲满足|f（x）|≤1，只须|f（a+2）|≤1，|f（a+3）|≤1同时成立，解此二不等式即可求得a的取值范围．
解：f(x)=log_a(x²－4ax+3a²)= log_a(x－3a)(x－a)
∵|f(x)|≤1恒成立，
∴  -1≤log_a(x－3a)(x－a)≤1 ………………2分
∵  0＜a＜1. 
∴a≤(x－3a)(x－a)≤对x∈[a+2,a+3]恒成立.  ………………5分
令h(x)= (x－3a)(x－a),
其对称轴x=2a.又 2a＜2, 2＜a+2,
∴当x∈［a+2,a+3］时，
h(x)_min=h(a+2),h(x)_max=h(a+3). ……………8分
∴
.  ………………12分