题目

已知定义在上的函数是偶函数，且时， .
(1)当时，求解析式；
（2）当，求取值的集合.
（3）当，函数的值域为,求满足的条件。

答案

、解：（1）当时
（2）取值的集合为
综上：当，取值的集合为
当，取值的集合为
当，取值的集合为
（3）

解析

本试题主要是考查了函数的解析式和函数的值域以及函数的奇偶性的综合运用。
（1）利用奇偶性得到对称区间的解析式。
（2）需要对参数m讨论可知得到二次函数的值域。
（3）当，函数的值域为,
由的单调性和对称性知，的最小值为，从而得到a,b的关系式。
解：（1）函数是偶函数，

当时，

当时
（2）当，，为减函数
取值的集合为
当，，在区间为减函数，在区间为增函数
且，
取值的集合为
当，，在区间为减函数，在区间为增函数
且，
取值的集合为
综上：当，取值的集合为
当，取值的集合为
当，取值的集合为
（3）当，函数的值域为,
由的单调性和对称性知，的最小值为，
，