题目

(（本题满分14分）
已知.
(1)判断并证明的奇偶性;
(2)判断并证明的单调性;
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.

答案

(1) 为奇函数；
(2) 当时，为上的增函数；
(3)

解析

(1)（2）利用单调性和奇偶性的定义证明即可.
（3）解本小题的关键是利用单调性和奇偶性去掉法则符号f,转化为自变量的大小关系，最终转化为不等式恒成立问题解决.

,
设,所以不等式转化为对任意恒成立解决即可.
解：（1） ,
为奇函数; …………2分
（2）设
则



当时，，，为上的增函数；
当时，，，为上的增函数.
综上可得，当时，为上的增函数. ………………………8分
⑶对任意恒成立，
对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立
 . ……………14分