题目

设函数．
（1）当，时，求所有使成立的的值。
（2）若为奇函数，求证：；
（3）设常数＜，且对任意x，＜0恒成立，求实数的取值范围．

答案

解：（1）或；（2）见解析 ；（3）＜ ＜．

解析

本试题主要是考查了函数的奇偶性与函数与不等式关系的运用，以及函数解析式的综合运用。
（1）当，时，函数．
 
或
（2）若为奇函数,则对任意的都有恒成立，则展开可得。
（3）由＜＜0， 当x=0时取任意实数不等式恒成立．
当0＜x≤1时,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．
从而构造函数得到结论。
解：（1）当，时，函数．
 
或
（2） 若为奇函数,则对任意的都有恒成立，
即，
令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴
（3）由＜＜0， 当x=0时取任意实数不等式恒成立．
当0＜x≤1时,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．
令在0＜x≤1上单调递增，∴＞．
令，则在上单调递减，单调递增
当＜时，在0＜x≤1上单调递减；
∴＜，∴ ＜＜．
当≤＜时 ≥．
∴ ＜．∴＜ ＜．