题目

已知函数(）是奇函数，有最大值
且.
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在直线与的图象交于P、Q两点，并且使得、两点关于点 对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

答案

（1）（2）过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0

解析

(1)由于f(x)为奇函数，可知f(-x)+f(x)=0恒成立，据此可求出c=0.
∴f(x)=.由a＞0，,所以当x>0时，才可能取得最大值，所以x＞0时，当且仅当,即时，f(x)有最大值,
从而得到a=b² ,再结合f(1)＞，∴＞,
∴5b＞2a+2,,可求出a,b的值.
(2)本小题属于存在性问题，先假设存在，设P(x₀,y₀),根据P、Q关于点（1，0）对称,可求出点P的坐标，从而确定Q的坐标，所以PQ的方程易求.
解：（1）∵f(x)是奇函数，
∴f(–x)=－f(x)，即，
∴－bx+c=－bx–c，
∴c=0，------------2分
∴f(x)=.由a＞0，， 当x≤0时，f(x)≤0，
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.
∴x＞0时，当且仅当
即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b²①
又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②
把①代入②得2b²–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b="1,a=1," ----------4分
∴f(x)=  ------------7分
（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，
P(x₀,y₀)则Q（2–x₀,–y₀)，∴,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0---9分
解之，得x₀=1±,∴P点坐标为()或()，
进而相应Q点坐标为Q（）或Q()， -------11分
过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求. -----------15分