题目

（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，试判断与的大小关系，并证明你的结论；
(Ⅲ) 当且时，证明：.

答案

（Ⅰ）的取值范围为.（Ⅱ）当时，.
(Ⅲ)见解析.

解析

（I）求函数.的导数，注意定义域，令导函数大于或等于0，分离参数，令一端配方求出最值即得的范围；（II）由（Ⅰ）可知：时，，（当时，等号成立），令，则取两边分别相加整理即得结论；（III）由（2）知，当，令求导可得最小值，所以时，（当且仅当时，等号成立），令，则，所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加证明即可.
（Ⅰ），函数的定义域为.
.
依题意，在恒成立，在恒成立.
，
，∴的取值范围为. ……………………………………………………… （4分）
（Ⅱ）当时，.
证明：当时，欲证，只需证.
由（Ⅰ）可知：取，则，
而，（当时，等号成立）.
用代换，得，即，
∴.
在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.
∴当时，.  ………………………………………… （9分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知（时，等号成立）.
而当时：，∴当时，.
设，则，
∴在上递减，在上递增，
∴，即在时恒成立.
故当时，（当且仅当时，等号成立）.  …… ①
用代换得：（当且仅当时，等号成立）. …… ②
当时，由①得，.
当时，由②得，用代换，得.
∴当时，，即.
在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.
故当且时，.  …………………………………………………（14分）