题目

（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．
（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得
对任意的恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）函数不满足“1和性质”；
（2）当使得对任意的恒成立

解析

(1)首先搞清楚什么样的函数具有“和性质”．本小题只要证明与互为反函数，即可说明y=f(x)满足“1和性质”.
(2)设函数满足“2和性质”，再求出其反函数，根据互为反函数，可求出k,b 的值.进而确定F(x),同时可研究其单调性.利用其单调性解再转化为不等式恒成立问题解决.
（1）函数的反函数是，
而其反函数为
, 故函数不满足“1和性质”；
．．．．．．6分
（2）设函数满足“2和性质”，
，而，得反函数
由“2和性质”定义可知=对恒成立，
即函数，，在上递减，．．．．．．9分
所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立. ，，易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立．．．．．．．13分