题目

（本题满分14分）已知函数
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若的定义域为[]()，判断在定义域上的增减性，并加以证明；
（3）若，使的值域为[]的定义域区间[]()是否存在？若存在，求出[]，若不存在，请说明理由.

答案

（1）为奇函数
（2）略
（3）不存在

解析

解：(1)由得的定义域为，关于原点对称。
 
为奇函数………………………………3分
（2）的定义域为[]()，则[]。设，[]，则，且，，=。。。。。。 5分
，即， 。。。。。。。。。。。6分
∴当时，，即； 。。。。。。。。。7分
当时，，即， 。。。。。。。。。。8分
故当时，为减函数；时，为增函数。 ………………………………9分
（3）由（1）得，当时，在[]为递减函数，∴若存在定义域[]()，使值域为[]，则有 ……………………12分
∴∴是方程的两个解……………………13分
解得当时，[]=，
当时，方程组无解，即[]不存在。………………………14分