题目

（1）当时, 求的单调区间、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由

答案

(1)的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；的极小值为
(3)

解析

（1）当时， ， 1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 …………………………………3分
的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；
的极小值为 ………………………………………………4分
（2）由（1）知在上的最小值为1， ……………………………………5分
令，
， ………………………6分
当时，，在上单调递增 …………………………………7分
∴ w
∴在（1）的条件下， …………………………………………………8分
(1)假设存在实数，使（）有最小值，
……………………………………………………9分
①当时，
，
在上单调递增，此时无最小值. …10分
②当时，
若，故在上单调递减，
若，故在上单调递增.
，得，满足条件.  ……………………………12分
③当时，
，在上单调递减，
（舍去），
所以，此时无最小值. ……13分  
综上，存在实数，使得当时的最小值是……………………14分
（3）法二：假设存在实数，使的最小值是，
故原问题等价于：不等式对恒成立，求“等号”取得时实数a的值.
即不等式对恒成立，求“等号”取得时实数a的值.
设 即 ， ………………10分
又  ……………………………11分
令
当，，则在单调递增；
当，，则在单调递减. ……………………13分
故当时，取得最大值，其值是 .
故 
综上，存在实数，使得当时的最小值是.……………………14分