题目

（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）当时，，其定义域是 
∴…………2分
令，即，解得或．
，∴ 舍去． 
当时，；当时，．
∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴ 函数只有一个零点． ……………………6分
（Ⅱ）显然函数的定义域为
∴  ………7分
①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分
② 当时，等价于，即
此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得． ………10分 
③ 当时，等价于，即
此时的单调递减区间为，
∴得
综上，实数的取值范围是 …………12分
法二：
①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分
②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间
上恒成立，只要恒成立，
解得或
综上，实数的取值范围是…………12分