题目

已知函数f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x2+bx+6(a，b为常数，a＞1)，且f（lglog₈1000）=8，则f（lglg2）的值是______．

答案

∵函数f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x2+bx+6(a，b为常数，a＞1)，
∴f（x）-6=（

1

ax-1

+

1

2

）x²+bx，
构造函数F（x）=f（x）-6=（

1

ax-1

+

1

2

）x²+bx=

2+ax-1

2(ax-1)

x²+bx=

ax+1

2(ax-1)

x²+bx，
则F（-x）=

1+ax

2(1-ax)

x2-bx=-[

ax+1

2(ax-1)

x²+bx]=-F（x），
∴函数F（x）是奇函数．
∵lglog₈1000=lg（

lg1000

lg8

）=lg（

3

3lg2

）=lg（

1

lg2

）-lg（lg2），
∴f（lglog₈1000）=f（-lg（lg2））=8，
∵函数F（x）=f（x）-6是奇函数．
∴F（-lg（lg2））=-F（lg（lg2）），
即f（-lg（lg2））-6=-[f（lg（lg2））-6]，
∴8-6=-f（lg（lg2））+6，
即f（lg（lg2））=4，
故答案为：4．

解析