题目

（本小题满分12分）
已知函数f(x)="log" _a (a>0且a≠1)的图像关于原点对称
（1）求m的值；  
（2）判断函数f(x)在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a>1，x∈(t,a)时, f(x)的值域是（1，+∞），求a与t的值。

答案

解：（1）由已知f(-x)="-f(x)" 即log_a+log_a="0" ………………………….1分
∴（1-mx）(1+mx)="(x+1)(1-x) " 1-m²x²=1-x²∴m=1  …………….3分
当m=1时，=-1＜0 舍去∴ m=-1  ……………….4分
（2）由（1）得f(x)=log_a 任取1＜x₁＜x₂
f(x₂)- f(x₁)= log_a- log_a= log_a 
∵1＜x₁＜x₂ ∴(x₂+1)(x₁-1)-(x₂-1)(x₁+1)=2(x₁-x₂) ∴0＜＜1
当a∈（0,1）时 log_a＞0，∴f(x₂) ＞ f(x₁),此时f(x)为增函数…7
当a∈（1，+∞）时 log_a＜0，∴f(x₂)＜ f(x₁) 此时为减函数。.8分
（3）有（2）知：当a＞1时，f(x)在（1，+∞）为减函数
由＞0有x＜-1或x＞1∴(t,a) （1，+∞）  …………………………..9分
即f(x)在(t,a)上递减，∴f(a)="1," ∴a=1+，且→+∞，∴t="1" ……………12分
 

解析

略